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かがくのたまご

指数関数
24年12月4日(数学科 M.N)

○○関数というと難しいイメージがあるかもしれない。y=ax のように式で表すとなおさら難しく感じられるかもしれない。だが指数関数の底を2として y=2x で具体的に考えてみると

「x=1 のとき y=2」「x=2 のとき y=4」「x=3 のとき y=8」「x=4 のとき y=16」・・・

実は簡単。倍々になっていくというアレのことだ。


指数関数の特徴が表れる有名な話はいくつかある。試しに毎月のお小遣いを
「初日に1円、2日目に2円、3日目に4円、4日目に8円、5日目に16円・・・で貰う」
という約束を取り付けてみよう。1週間くらいなら平気だが、2週間でお小遣いをあげる側は青くなり、月の末日には破産してしまう。(214 は16384、230 は10億7374万・・・)


1枚の紙を1回折る。2回折る。たいして厚みは変わらない。3回折る。4回折る。少し力を入れないと折れなくなる。5回折る。6回折る。早くも限界が近付いてくる。7回目くらいはもう折れない。もし紙を何回でも折れる力持ちがいたとして、26回折ったらその厚みは富士山を越えてしまう。(紙の最初の厚さ0.065mm、226 は約6700万だから約4300mになる)


2つの例からわかることは、日常の言葉の上では“指数関数のように増える”というのは、“急激に増える”ということになるだろう。


さて多摩科技の1期生は大学受験を目の前にしてそれぞれに努力を重ねている。毎日のように放課後教室に残って学習に励んでいる生徒がいる。彼らが最近急激に伸びてきたのが嬉しい。そんなときふと y=2x を思う。


問題Aが解ける。Bが解けるようになる。Cが解けるようになる。この辺までは解ける問題が足し算で増えていくだけだ。しかしD、E・・・と解ける問題が増えていくと、BとEや、AとDとEを組み合わせた応用問題も解けるようになる。解ける問題が増えれば増えるほど、組合せて解ける応用問題は“指数関数のように増える”。同じ時間だけ勉強しても4月と現在では“伸び”が違う。


勉強は指数関数と同じで最初の伸びはたいしたことはない。過去、努力のわりに点数が上がらずに苦しかった時期もあっただろう。焦ったり辛かったりしたこともあっただろう。だが諦めずに勉強し続けてきた生徒は今、あるいはこれからの2ヶ月で“急激な成長”が必ず訪れる。そのときまで、そして受験本番のその日まで精一杯頑張ろう。


さて高校を受験しようとしている中学生にも同じことがいえると思う。もし多摩科技を希望して頑張っている生徒さんがいたら、最後の最後まで諦めず、先生方のいうことをよく聞いてしっかり勉強してください。

y=ax の a が 2 でなく他の数だったらどうなるのか。

a や x に分数や負の数が入ったらどうなるのか。多摩科技で一緒に勉強してみませんか?




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